รายละเอียด : หลักคณิตศาสตร์

หลักคณิตศาสตร์

หนังสือคณิตศาสตร์ เล่มนี้ เขียนขึ้นเพื่อปูพื้นฐานความรู้ทางตรรกศาสตร์ พร้อมแนวทางในการเขียนบทพิสูจน์ผ่านทางโจทย์ปัญหา รวมถึงความรู้พื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ เช่น ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน และบทประยุกต์ของฟังก์ชันในการจำแนกเซตเป็นเซตจำกัด หรือเซตอนันต์เป็นเซตนัยได้ หรือเซตนับไม่ได้ หนังสือเล่มนี้จึงเหมาะสำหรับที่ศึกษาทางคณิตศาสตร์ หรือทางคอมพิวเตอร์และผู้ที่ใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงเพื่อเป็นเครื่องมือ รวมไปถึงผู้ที่เตรียมตัวเพื่อสอบแข่งขันคณิตศาสจร์ระดับสูง เช่น Internatioal Mathematical Olympiad

คำนำ : หลักคณิตศาสตร์

ผู้เขียนเรียบเรียหนังสือเล่มนี้ขึ้นจากประสบการณ์การสอนวิชาหลักคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาหลายปี โดยหวังว่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้เรียนรายวิชาหลักคณิตศาสตร์และแนวคิดหลักมูลทางคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาตรี รายวิชาหลักมูลของคณิตศาสตร์นามธรรมในระดับปริญญาดทของภาควิชาคณิตศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และผู้เขียนได้พยายามใช้ภาษาง่าย ๆ และอธิบายเนื้อหาโดยละเอียดเพื่อให้ผู้สนใจเตรียมความพร้อมสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ในระดับบัณฑิตศึกษา สามารถศึกษาด้วยตนเอง

เนื้อหาในบทที่ 1 เป็นการทบทวนตรรกศาสตร์เบื้องต้นเพื่อนำไปใช้ในการพิสูจน์ซึ่งผู้เขียนมักจะให้นิสิตในระดับบัณฑิตศึกษาอ่านด้วยตนเอง ในบทที่ 2 เป็นการเสนอตัวอย่างการพิสูจน์แบบต่าง ๆ โดยได้สอดแทรกตัวอย่างให้เห็นความสวยงามของการพิสูจน์ในการแก้ปัญกาทางคอมบินาทอริก (Combinatorics) ทั้งนี้เนื่องจากผู้เขียนมักจะได้รับคำถามจากนักเรียน นิสิต นักศึกษาเสมอว่าเรียนคณิตศาสตร์ไปทำอะไร และผู้เรียนคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ จะไม่ชอบการพิสูจน์ทฤษฎีบทหรือสูตรการคำรวณต่าง  ๆ สนใจเพียงการนำไปใช้ ผู้เพิ่มแบบฝึกหัดระคนสำหรับบทนี้เพื่อผู้อ่านจะได้ฝึกซ้อมการเขียนการพิสูจน์มากขึ้นซึ่งโจทย์บางข้อค่อนข้างยาก ขอแนะนำให้ผู้ที่เริ่มหัดเขียนการพิสูจน์ ใช้ภาคผนวกท้ายเล่มเป็นแบบฝึกหัดเบื้องต้น ในบทที่ 3 เป็นเรื่องความสัมพันธ์ ได้นำเสนอความสัมพันธ์ในรูปแบบกราฟและเมทริกซ์ศูนย์-หนึ่ง พร้อมทั้งให้รายละเอียดความสัมพันธ์ที่มีความสำคัญยิ่ง 2 ชนิด คือความสัมพันธ์เทียบเท่าและการเรียงลำดับบางสาวย ในบทที่ 4 เป็นเรื่องฟังก์ชัน ได้กล่าวถึงสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันคือ "หนึ่งต่อหนึ่ง" และ "ทั่วถึง" อีกทั้งสมบัติต่าง ๆของภาพและภาพผกผันของฟังก์ชัน บทที่ 5-7 เป็นบบประยุกต์ของเนื้อหาในบทที่ 4 โดยเป็นการใช้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงในการจัดกลุ่มของเซต ในบทที่ 5 เราแบ่งเซตออกเป็นกลุ่มใหญ่ 2 กลุ่ม คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ ในบทที่ 6 เราแบ่งเซตอนันต์เป็น 2 กลุ่ม คือ กลุ่มที่มีเซตจำนวนนับทั้งหมดเป็นต้นแบบเรียกว่าเซตอนันนต์แบบนับได้ และเรียกเซตอนันต์อีกส่วนหนึ่งว่าเซตนับไม่ได้ เรารวมเรียกเซตจำกัดและเซตอนันต์แบบนั่บได้ว่าเซตนับได้ในบทที่ 7 เราสร้างจำนวนเชิงการรับขึ้นมาเพื่อ "นับ" จำนวนสมาชิกของเซตต่าง ๆ ซึ่งทำให้การจัดกลุ่มของเซตเป็นระบบยิ่งขึ้น

สารบัญ : หลักคณิตศาสตร์

• ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์
• ระเบียบวิธีการพิสูจน์
• ความสัมพันธ์
• ฟังก์ชัน
• เซตจำกัดและเซตอนันต์
• เซตนับได้และเซตนับไม่ได้
• จำนวนเชิงการนับ